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Sin embargo, si repasamos y repensamos la expresión dos veces más, nos daremos cuenta de que tiene otro significado, y que dicho significado no consiste en el doble. Decir el doble significa multiplicar por dos la dimensión del objeto que se esté considerando; mientras que, por el contrario, el doble sólo representa una vez más (¡y no dos veces!) aquello a lo que nos estamos refiriendo; sencillamente porque si fuese dos veces más tendríamos el triple y no el doble.

      ¿Cómo explicar toda esta confusión? Una primera aproximación al problema del significado de la expresión «dos veces más» la podríamos encontrar en Wittgenstein, para quien el significado de la palabra está determinado por su uso, es decir, «el significado es el uso que hacemos de la palabra» (2008: 137-141). En nuestro caso, el uso habitual que hacemos de la expresión «dos veces más», la figura mental que construimos es la del doble. Sin embargo, lo mismo ocurre cuando decimos «una vez más», pues la figura psicológica que se nos aparece es la de una extensión de igual tamaño a la que tenemos como muestra y que, por lo tanto, supone el doble del original.

      En la lengua castellana, el sustantivo vez hace referencia a la operación matemática de multiplicar o de dividir dependiendo de lo que siga a continuación. Si lo que sigue es la voz más, entonces multiplicamos; si se trata de «dos veces más», multiplicamos por dos; si trata de «tres veces más», multiplicamos por tres. Pero, si lo que sigue es la voz menos, entonces dividimos, de modo que si se trata de «dos veces menos», dividimos por dos, o sea, estamos queriendo decir «la mitad», y si decimos «tres veces menos», dividimos por tres, es decir, estamos queriendo significar «un tercio».

      Además de lo anterior, la voz más –como también sensu contrario la voz menos– hace referencia a la operación matemática de sumar, a la función aditiva de la suma. Por eso, cuando ambas funciones, la multiplicativa vez y la aditiva más, se confunden en una sola en la expresión lingüística dos veces más, objeto de nuestro análisis, en términos matemáticos estaremos multiplicando por dos, e inmediatamente después, añadiendo una unidad adicional al resultado de la anterior multiplicación, por lo que obtendremos el triple y no el doble.

      Otro error de comprensión muy común entre los economistas, y que viene inducido por la falta de precisión en el uso del lenguaje, consiste en afirmar que el coste marginal de una producción cualquiera es el coste de la última unidad producida. Cuando en realidad el marginalismo razona, por el contrario, en términos de incrementos discretos y, por eso mismo, nunca habló de las unidades últimas, sino de las unidades adicionales o de una unidad más. Está claro que el coste de un determinado número de piezas es el mismo tanto para la primera pieza física que se haya producido como para la última, y que dicho coste se corresponde con el coste medio de producción o coste por unidad producida (coste unitario), es decir, con el coste total dividido por el número de unidades producidas.

      Bibliografía

      Blasco, Josep Lluís, Tobies Grimaltos y Dora Sánchez (2006): Signo y Pensamiento, Ariel Filosofía, Barcelona, 238 pp.

      Garrido, Manuel (2005⁴): Lógica Simbólica, Tecnos, 540 pp.

      Wittgenstein, Ludwig (2008⁴): Investigaciones Filosóficas, Crítica, Barcelona, 547 pp.

Píldora 3

      Un poco de matemática, física y economía⁷

      La economía ha venido promoviendo e impulsando una utilización muy intensa de las matemáticas con el fin, entre otros, de superar su complejo de inferioridad como ciencia. Sin que esto sea reprobable, pues es bueno que la economía se interese por el rigor y la forma, también sería bueno que a la par no se olvide del contenido, a menos que queramos convertirla en una disciplina más interesada en el rigor formal de sus métodos y modelos, y en la precisión de sus estimaciones y cálculos, pero completamente desvinculada de la realidad y desinteresada por la verdad de los argumentos económicos.

      Además, la imposibilidad de llevar a la práctica verificaciones empíricas al modo de las ciencias experimentales ha inducido a la economía a utilizar las matemáticas muy intensamente. Como la economía no puede realizar experimentación, un recurso muy habitual ha consistido en utilizar la expresión caeteris paribus para poder verificar el impacto que produce el cambio en una variable cuando las demás se mantienen invariables. En términos matemáticos, esta expresión es equivalente al concepto de derivada parcial, y expresa la necesidad de establecer relaciones de causalidad sin ser entorpecidos por la interacción simultánea de los determinantes últimos de las variables económicas consideradas.

      Otra expresión económica que puede dar lugar a cierto despiste conceptual es el término desaceleración económica, del que tanto se habló a principios del 2007. El Gobierno utilizaba esta expresión como eufemismo para negar la realidad y evitar la connotación negativa que tenían y tienen las palabras crisis o recesión. La obsesión por soslayar la cruda realidad y dulcificarla llevó al ministro de Economía y Hacienda a afirmar que la economía española se encontraba en una situación de desaceleración acelerada. Antes utilizar expresiones pintorescas y ejercitarse en el funambulismo lingüístico que reconocer abiertamente ante los españoles que estábamos ya al filo de la recesión.

      En términos de la física y las matemáticas el concepto está muy claro, sobre todo cuando nos encontramos en el universo de las funciones. La física aplica las matemáticas para estudiar funciones concretas, como puede ser el estudio de la posición de un objeto o masa puntual. Por analogía con la física, podemos entender el crecimiento del PIB como la velocidad a la que se desplaza un objeto, que en el ámbito de la economía podría ser el PIB. En nuestro caso, la función que nos interesa es la derivada de la posición inicial con respecto al tiempo, que es la velocidad.

      Mientras que la aceleración sería la derivada de la velocidad, es decir, la segunda derivada de la posición respecto del tiempo dos veces. Por lo tanto, la aceleración se puede interpretar como «la velocidad a la que cambia la velocidad», mientras que «la velocidad con que cambia la aceleración» sería la tercera derivada. Del mismo modo, hablar de «acelerar la velocidad a la que cambia la velocidad» consistiría matemáticamente en la cuarta derivada de la posición respecto del tiempo cuatro veces, y así sucesivamente, hasta la n-ésima derivada.

      La interpretación del concepto de aceleración que hacemos cuando en el lenguaje coloquial hablamos de un objeto que se acelera o, lo que es lo mismo, que varía (incrementa o disminuye) la velocidad respecto de la variable tiempo es la correcta. ¿Se puede hablar de «acelerar la velocidad»? Seguro, todo es posible, pero nos estaríamos refiriendo entonces a la «velocidad de cambio de la aceleración» (tercera derivada) y así sucesivamente con todos los términos (y derivadas) que se nos puedan ocurrir.

      La velocidad de la velocidad o aceleración (segunda derivada) la puedo cambiar a mi gusto (tercera derivada, etc.). La puedo aumentar, acelerando, es decir, aumentando la velocidad. También la puedo disminuir, ralentizando, es decir, disminuyendo la velocidad de cambio en el tiempo. La aceleración es la variación de la velocidad con el tiempo y, por tanto, no se mide en kilómetros por segundo, como se podría pensar, sino en kilómetros dividido por segundos al cuadrado, ya que hay que dividir la velocidad (km/s) por el tiempo (s).

      La noción de crecimiento en economía es exactamente la misma que en la naturaleza, como puede ser, por ejemplo, el crecimiento de una planta. Por eso, la fórmula del tipo de interés compuesto continuo –que necesita del uso de los límites y de los logaritmos neperianos para su cálculo– explica por qué, en este asunto, no hay ninguna diferencia con la física.

      La lengua castellana y el lenguaje físico-matemático no coinciden siempre al cien por cien. En castellano, la palabra acelerar –y supongo que, por su significado en física, también en otras lenguas– significa ‘incremento de la velocidad en la unidad de tiempo’, es decir, aumentar la velocidad de alguna cosa en una unidad de tiempo. En física también tiene el mismo significado. Desgraciadamente, el diccionario de la RAE no nos clarifica si este incremento es constante y estable, es decir, en el sentido de una segunda

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