LITMIR.BIZ

Скачать книгу

бы, в современной нотации, не более 10⁶³ песчинок.

* * *

      В математике существует давняя традиция развлечения, в рамках которого математики исследуют всевозможные игры и головоломки. Иногда это делается просто для удовольствия, а иногда подобные легкомысленные задачи помогают понять серьезные концепции. В «Задаче о быках» поднимаются вопросы, не потерявшие актуальности и сегодня. В 1773 г. немецкий библиотекарь Готтхольд Лессинг наткнулся на одну греческую рукопись: стихотворение из 44 строк, приглашающее читателя подсчитать, сколько животных ходит в стаде бога Солнца. Заголовок стихотворения представляет его как письмо от Архимеда к Эратосфену. Начинается оно так:

      Сколько у Солнца быков, найди для меня, чужестранец.

      (Ты их, подумав, считай, мудрости если не чужд.)

      Как на полях Тринакрийской Сицилии острова тучных

      Их в четырех стадах много когда-то паслось.

      Цветом стада различались: блистало одно млечно-белым,

      Темной морской волны стада другого был цвет,

      Рыжим третие было, последнее пестрым. И в каждом

      Стаде была самцов множеством тяжкая мощь,

      Все же храня соразмерность такую…[5]

      Затем в ней перечисляются семь уравнений в стиле:

      число белых быков

число черных быков + число рыжих быков и следует продолжение:

      Сколько у Солнца быков, чужестранец, коль точно ты скажешь,

      Нам раздельно назвав тучных быков число,

      Также раздельно коров, сколько каждого цвета их было,

      Не назовет хоть никто в числах невеждой тебя,

      Все ж к мудрецам причислен не будешь. Учти же, пожалуй,

      Свойства какие еще Солнца быков числа.

      число белых быков + число черных быков = квадратное число,

      число пестрых быков + число рыжих быков = треугольное число.

      Если ты найдешь, чужестранец, умом пораскинув,

      И сможешь точно назвать каждого стада число,

      То уходи, возгордившись победой, и будет считаться,

      Что в этой мудрости ты все до конца превзошел[6].

      Квадратные числа – это 1, 4, 9, 16 и т. д., получаются они при умножении натурального числа на само себя. Треугольные числа – это 1, 3, 6, 10 и т. д., образуемые сложением последовательных натуральных чисел, к примеру, 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Эти условия образуют то, что мы сегодня называем системой диофантовых уравнений в честь Диофанта Александрийского, который написал о них около 250 г. в книге «Арифметика». Решение должно даваться в целых числах, поскольку вряд ли у бога Солнца в стаде ходит половинка коровы.

      Первый набор условий дает бесконечное число возможных решений, в наименьшем из которых божественное стадо насчитывает 7 460 514 черных быков и сравнимое число остальных животных. Дополнительные условия позволяют выбрать среди этих решений и ведут к тому типу диофантовых уравнений, которые известны как уравнения Пелля (глава 6). Здесь нужно найти целые x и y, такие что nx² + 1 = y², где n –

Скачать книгу