LITMIR.BIZ

Скачать книгу

однако, что математический метод рассмотрения пределов приводит к превращению величин, резко разделенных дискретными различиями, в величины одного и того же рода путем непрерывной градации этих различий. Так параллели становятся предельным случаем прямых, пересекающихся на конечном расстоянии, круг становится границей эллипса, парабола – границей эллипса или гиперболы. Для алгоритма исчисления бесконечно малых, как известно, эти соображения приобретают даже фундаментальное значение. Поэтому может показаться, что фиксированные деления низшей математики становятся подвижными для высшей математики, насколько распространяется влияние рассмотрения границ.

      Но во всех этих случаях математик создает непрерывную текучую связь, говоря словами Риманна, «рассматривая переход через конечное число промежуточных стадий и затем позволяя числу этих промежуточных стадий расти таким образом, что расстояния между двумя последовательными промежуточными стадиями все уменьшаются до бесконечности». Таким образом, непрерывная связь становится существенной только с точки зрения предельного рассмотрения, но не для всех возможных точек зрения. Поэтому различия, разделяющие такие типы, как упомянутые выше, не являются сами по себе непрерывными, а становятся таковыми лишь в силу особого взгляда на предельный метод, который становится необходимым благодаря определенным требованиям, например, аналитического или геометрического наблюдения, на его месте. Поэтому математический метод пределов, даже там, где он приобретает принципиальное значение, принадлежит к той группе методов, которые Гербарт более удачно охарактеризовал в целом, чем назвал в выражении «случайные представления». Ибо против его общих замечаний следует помнить лишь то, что эти случайные взгляды по своей природе не являются «простым искусством», хотя они могут возникать именно таким образом в контексте математических доказательств методологически отточенной теории. Поэтому различия между параллелями и пересекающимися прямыми, между плоскостью и сферической поверхностью, секущей и касательной, вообще между переменной и ее границей остаются полностью фиксированными, хотя вид границы может установить непрерывную связь между ними в пределах своих задач.

      Не входят в сферу нашего рассмотрения и те геометрические отношения, в которых различия форм могут непрерывно трансформироваться друг в друга, но в которых лишь некоторые, твердо определяемые различия обладают видообразующей силой благодаря обилию их корреляций. Так, различия в величине углов в треугольнике могут градироваться до бесконечности в пределах общей суммы двух прав. Специфические различия, однако, предлагаются только тремя эпитомами бесконечного числа случаев самих по себе, которые мы различаем как правильный, остроугольный и тупоугольный треугольники. Все эти отношения оказываются типами пограничных отношений даже в общем наблюдении, которое легко сделать.

      Поэтому

Скачать книгу