Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I - Денис Владимирович Соломатин

Скачать книгу

сделать вывод о том, что
 отдалилось от
 приблизилось к
. Если теперь проанализировать, как меняется
 на всех достаточно малых значениях
, то можно будет определить, является ли исследуемое равновесие стабильным или нестабильным. Растущее отклонение означает нестабильность, в то время как уменьшающееся означает стабилизацию. Здесь не учитывается знак отклонения, рассматривая лишь абсолютное значение. Знак стоит принимать во внимание в последнюю очередь, так как он не имеет прямого отношения к вопросу о стабильности.

      Пример. Рассмотрим модель

, с которой уже сталкивались ранее и знаем, что равновесие достигается в точках
 и 10. В первую очередь исследуем
, которое, судя по графику, стабилен на основании численных экспериментов. Подстановка значений
 и
 в уравнение для модели приводит к следующему выводу:

 является очень малым числом, меньше 1, следовательно,
. Таким образом
.

      Это означает, что значения

 действительно стабильное значение.

      Можно смотреть на число 0.3 как на «коэффициент растяжения», который говорит о том, насколько стремительно меняются отклонения от равновесия с течением времени. В данном примере, поскольку растягиваемся в менее чем 1 раз, на деле имеет место сжатие.

      Процесс, описанный в примере выше, называется линеаризацией модели в равновесии, потому что сначала фокусируем внимание вблизи равновесия путем линейной замены

. Остается только линейная модель, аппроксимирующая исходную модель. Линейные модели, как видели, легко понять, потому что они производят либо экспоненциальный рост, либо распад.

      Вопросы для самопроверки:

      – Выполните аналогичный анализ для другого равновесия этой модели, чтобы показать, что оно нестабильно. Каким будет коэффициент растяжения, на который расстояния от точки равновесия растут с каждым шагом времени?

      В результате аналогичного анализа в окрестности 0 обнаружится, что линеаризация при

 дает
 неустойчиво. В общем случае, когда коэффициент растяжения больше 1 по абсолютной величине, равновесие нестабильно. И наоборот, когда оно меньше 1 по абсолютной величине, равновесие стабильно.

      Из курса

Скачать книгу