LITMIR.BIZ

Скачать книгу

kan læseren se dem på god afstand og styre uden om dem. “Faktabokse”, som også trygt kan springes over, vil give forklaringer til de dele af matematikken, der går ud over de almindelige regningsarter plus og gange.

      Det kræver en universitetsuddannelse eller et meget intenst selvstudium at opnå fortrolighed med begreberne, så man selv kan udføre kvantemekaniske udregninger, og den matematik, der vil blive præsenteret i denne bog i billedrammer og faktabokse, vil netop kun blive vist frem – som illustration af, at “så er det heller ikke værre”.

      KAPITEL 2

      DEN KLASSISKE FYSIK

      Den vigtigste formel i fysikken er Newtons 2. lov, “kraft er lig med masse gange acceleration”. Med “bogstavregning” kan Newtons lov skrives:

      F = m·a

      Bogstavet F betegner en kraft, m betegner massen af et legeme udsat for denne kraft, og a betegner legemets acceleration. Det faktum, at de tre fysiske størrelser står i forhold til hinanden ved den angivne formel, er en hjørnesten i den klassiske mekanik fremstillet af Isaac Newton i 1687 i hovedværket Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica.

      Selvom vi opskriver Newtons 2. lov som en matematisk formel, er det faktum, at kraft er lig med masse ganget med acceleration, ikke et resultat af en matematisk analyse, men en dyb fysisk sammenhæng, som ingen havde indset før Isaac Newton. Man havde i århundreder studeret forskellige former for bevægelse og var naturligvis fuldt fortrolig med, at man skal bruge kræfter, når man sætter i løb eller kaster en sten. Men at man kan gøre kræfterne op som fysiske størrelser, der kan beskrives ved tal, og at disse skal relateres til et legemes acceleration og ikke for eksempel til dets hastighed, var ikke faldet datidens naturforskere ind.

      Det er motorkraften i Ferrari-raceren, der via dækkenes friktion mod vejbanen får den til at accelerere fra 0 til 100 km/t på ganske få sekunder, helt i overensstemmelse med Newtons 2. lov, men ud over at Newton nok ikke i 1687 kunne have forestillet sig en Formel 1-racer i fart, er den et dårligt eksempel at lære grundlæggende fysik ud fra. Bilens bevægelse er jo meget kompliceret og påvirkes af mange forskellige faktorer, inklusive førerens koldblodighed, som ikke lader sig sætte på en simpel formel. Det samme gælder på den ene eller anden måde rigtig mange bevægelsesfænomener på Jorden, og Newtons vej til hans fantastiske ligning fulgte da også en gigantisk “omvej” over iagttagelsen og forståelsen af planeternes baner om Solen, som var den mest regelmæssige fysiske bevægelse, man kendte til på det tidspunkt.

      Arkæologiske fund peger på, at mange civilisationer med stor møje må have foretaget præcise målinger af Solen, Månen og planeternes vandring over himlen, og at de havde afluret deres regelmæssighed og derfor kunne forudse fremtidige positioner af himmellegemerne. En række simple matematiske egenskaber ved planetbevægelserne blev formuleret af den tyske matematiker Johannes Kepler på basis af danskeren Tycho Brahes målinger, og de fik Isaac Newton til at indse, at deres regelmæssighed måtte kunne “forklares” og altså ikke bare konstateres.

      Newton indså, at man kan forklare accelerationen af planeterne i deres ellipsebaner om Solen, hvis man benytter F = m·a, hvor kraften F er en langtrækkende tyngdekraft mellem Solen og hver enkelt planet, hvis styrke aftager med kvadratet på afstanden til planeten og er proportional med produktet af Solens og planetens masser. Newton forstod også, at det er præcis den samme kraft, der får det berømte æble til at falde til jorden, når det falder af træet. Foruden at være et af de mest spektakulære fænomener i naturen havde planetsystemet altså en afgørende rolle i udviklingen af bevægelsesloven, som viste sig at give en god beskrivelse af al bevægelse, og som udgør hjørnestenen i den klassiske mekanik.

      Newtons 2. lov giver fysikerne mulighed for at forklare, hvorfor bevægelse foregår, som den gør, og den tillader os at forudsige fremtidig bevægelse: Kender man de kræfter, der påvirker et legeme, kan man beregne legemets acceleration ved at dividere kraften med legemets masse, a = F/m, og kender man legemets nuværende hastighed og dets acceleration fra Newtons 2. lov, kan man i små skridt regne sig frem til, hvor hurtigt og hvorhen legemet bevæger sig lige om lidt, og kort derefter, og kort derefter …

      Kinetisk og potentiel energi

      Lad os tage en tur i rutsjebanen i Tivoli: På toppen af rutsjebanen tager vi en dyb indånding, og så går det nedad, hurtigere og hurtigere, indtil vi når bunden og fortsætter op ad bakke på den anden side til næsten den samme højde, som vi kom fra. I stedet for at beskrive vognens bevægelse ud fra Newtons 2. lov og omhyggeligt bestemme, hvordan tyngdekraften forårsager en acceleration nedad og en deceleration opad, er det en god idé at betragte det arbejde, der blev udført for at trække vognen op på toppen. Det arbejde er lagret i såkaldt potentiel energi, som kan frigives og omsættes til bevægelse i den såkaldte kinetiske energi. Den kinetiske energi af et legeme med massen m og hastigheden v har værdien 1/2mv². Den potentielle energi betegnes med det store bogstav V, og fordi vi kun skulle overkomme tyngdekraften, da vi trak vognen op, er den potentielle energi en funktion af, hvor højt vognen er løftet. Følger vi nu vognens tur gennem rutsjebanen, og ser vi bort fra luft- og gnidningsmodstand, gælder det, at summen af den kinetiske og potentielle energi er bevaret:

      E = ½mv² + V

      Det vil sige, den har den samme værdi til alle tider. Energiens bevarelse giver en behændig genvej frem for Newtons 2. lov til at bestemme, hvordan et legeme bevæger sig, fordi den kinetiske energi og dermed farten af legemet er givet ved ændringen i potentiel energi mellem toppen og det givne sted på rutsjebanen, og fordi ændringen i potentiel energi viser sig at være en simpel funktion af højdeforskellen over jorden og derfor let kan beregnes.

      Der findes andre energiformer end kinetisk og potentiel energi, for eksempel varme, og der vil på grund af gnidningsmodstand ske en overførsel af noget af energien til varme i hjulene og skinnerne under rutsjebaneturen, så der skal lidt ekstra motorkraft til at få vognen op på toppen igen, ligesom der også skal bruges motorkraft til at holde en bil i konstant fart på en lige landevej – i tilsyneladende modstrid med Newtons 2. lov. Modstriden er kun tilsyneladende, da motorkraften jo netop skal kompensere for gnidningskræfterne, og kun når det er opfyldt, så den totale kraft er nul, vil bilen bevæge sig med konstant fart. Fordi planeterne i det næsten tomme rum ikke er udsat for ret stor modstand, bliver deres bevægelse så regelmæssig, at Newton kunne aflure den.

      Efter Isaac Newton opdagede fysikere gennem iagttagelser af naturen og ved laboratorieeksperimenter mange fænomener, som det var naturligt at forsøge at sætte på simple, og undertiden knap så simple, formler.

      Den svingende streng, bølgeligningen

      Fordi teorien for svingninger og bølger bliver helt central i vores beskrivelse af kvantemekanikken, er det værd at beskæftige sig med den klassiske teori for bølger. Adskillige kendte fysikere har beskæftiget sig med bølgefænomener, for eksempel med violinens fysik: Når Newtons 2. lov anvendes på hver eneste lille stump af en streng, der påvirkes af violinbuen og holdes stram ved et elastisk træk i begge ender, kan den matematiske teori så nogenlunde redegøre for, hvordan hele violinen, svinger, og hvordan den lyder (se faktaboksen med den matematiske teori). En fyldestgørende teori kræver dog også, at man regner på hvert enkelt lille areal af violinens trækasse, der er i forbindelse med resten af kassen og strengene, og på hvert enkelt lille volumen af luft inde i violinkassen – og selv efter en sådan indsats vil de fleste professionelle musikere næppe være imponerede, da der stadig er lang vej til at forklare, hvordan og hvorfor vi hører og gribes af instrumentets lyde som musik.

      Illustration 3 viser en elastisk streng fastgjort i begge ender. Knipser man strengen i den ene ende, vil man sætte strengen i bevægelse, og man kan faktisk mærke, hvordan “knipset” rejser frem og tilbage langs strengen. Foruden udbredelsen af meget komplicerede bevægelser kan strengen også opføre sig meget regulært og for eksempel svinge harmonisk som vist på illustration C), og en dobbelt så hurtig svingning med to bølger er vist på illustration D).

      For at kunne benytte Newtons 2. lov til en beregning af en strengs bevægelse er det nødvendigt at indse, at forskellige dele af strengen bevæger sig

Скачать книгу